年齡問題的三個基本特征

　　①兩個人的年齡差是不變的；

　　②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；

　　③兩個人的年齡的倍數是發生變化的。

　　植樹問題

　　基本類型：

　　在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹。

　　雞兔同籠問題

　　基本概念：

　　雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來。

　　基本思路：

　　①假設，即假設某種現象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

　　②假設后，發生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；

　　③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現這個差的原因；

　　④再根據這兩個差作適當的調整，消去出現的差。

　　基本公式：

　　①把所有雞假設成兔子：雞數＝（兔腳數×總頭數－總腳數）÷（兔腳數－雞腳數）

　　②把所有兔子假設成雞：兔數＝（總腳數一雞腳數×總頭數）÷（兔腳數一雞腳數）

　　關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。

　　盈虧問題

　　基本概念：

　　一定量的對象，按照某種標準分組，產生一種結果：按照另一種標準分組，又產生一種結果，由于分組的標準不同，造成結果的差異，由它們的關系求對象分組的組數或對象的總量。

　　基本思路：

　　先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結果的變化，根據這個關系求出參加分配的總份數，然后根據題意求出對象的總量。

　　基本題型：

　　①一次有余數，另一次不足；

　　基本公式：總份數＝（余數＋不足數）÷兩次每份數的差

　　②當兩次都有余數；

　　基本公式：總份數＝（較大余數一較小余數）÷兩次每份數的差

　　③當兩次都不足；

　　基本公式：總份數＝（較大不足數一較小不足數）÷兩次每份數的差

　　基本特點：

　　對象總量和總的組數是不變的。

　　關鍵問題：

　　確定對象總量和總的組數。

　　牛吃草問題

　　基本思路：

　　假設每頭牛吃草的速度為“1”份，根據兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。

　　基本特點：

　　原草量和新草生長速度是不變的。

　　關鍵問題：

　　確定兩個不變的量。

　　基本公式：

　　生長量=（較長時間×長時間牛頭數-較短時間×短時間牛頭數）÷（長時間-短時間）；

　　總草量=較長時間×長時間牛頭數-較長時間×生長量。

　　周期循環與數表規律

　　周期現象：

　　事物在運動變化的過程中，某些特征有規律循環出現。

　　周期：

　　我們把連續兩次出現所經過的時間叫周期。

　　關鍵問題：

　　確定循環周期。

　　閏年：一年有366天；

　　①年份能被4整除；

　　②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除。

　　平年：一年有365天。

　　①年份不能被4整除；

　　②如果年份能被100整除，但不能被400整除。

　　平均數問題

　　平均數

　　基本公式：

　　①平均數=總數量÷總份數

　　總數量=平均數×總份數

　　總份數=總數量÷平均數

　　②平均數=基準數＋每一個數與基準數差的和÷總份數

　　基本算法：

　　①求出總數量以及總份數，利用基本公式①進行計算；

　　②基準數法：根據給出的數之間的關系，確定一個基準數；一般選與所有數比較接近的數或者中間數為基準數；以基準數為標準，求所有給出數與基準數的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數；較后求這個差的平均數和基準數的和，就是所求的平均數，具體關系見基本公式②。

　　抽屜原理

　　抽屜原則一：

　　如果把（n+1）個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。

　　例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數的和，那么就有以下四種情況：

　　①4=4+0+0②4=3+1+0

　　③4=2+2+0④4=2+1+1

　　觀察上面四種放物體的方式，我們會發現一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。

　　抽屜原則二：

　　如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m，那么必有一個抽屜至少有:

　　①k=[n/m]+1個物體：當n不能被m整除時。

　　②k=n/m個物體：當n能被m整除時。

　　理解知識點：

　　[X]表示不超過X的較大整數。

　　例：[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2。

　　關鍵問題：

　　構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據抽屜原則進行運算。

　　奧數知識點（定義新運算）

　　奧數知識點（數列求和）

　　等差數列：

　　在一列數中，任意相鄰兩個數的差是一定的，這樣的一列數，就叫做等差數列。

　　基本概念：

　　首項：等差數列的較好個數，一般用a1表示；

　　項數：等差數列的所有數的個數，一般用n表示；

　　公差：數列中任意相鄰兩個數的差，一般用d表示；

　　通項：表示數列中每一個數的公式，一般用an表示；

　　數列的和：這一數列全部數字的和，一般用Sn表示。

　　基本思路：

　　等差數列中涉及五個量：a1,an,d,n,sn,,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。

　　基本公式：

　　通項公式：an=a1+（n－1）d；

　　通項＝首項＋（項數一1)×公差；

　　數列和公式：sn,=(a1+an)×n÷2；

　　數列和＝（首項＋末項）×項數÷2；

　　項數公式：n=(an+a1)÷d＋1；

　　項數=（末項-首項）÷公差＋1；

　　公差公式：d=（an－a1））÷（n－1）；

　　公差=（末項－首項）÷（項數－1）。

　　關鍵問題：

　　確定已知量和未知量，確定使用的公式。

　　加法乘法原理和幾何計數

　　加法原理：

　　如果完成一件任務有n類方法，在較好類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務共有：m1+m2.......+mn種不同的方法。

　　關鍵問題：

　　確定工作的分類方法。

　　基本特征：

　　每一種方法都可完成任務。

　　乘法原理：

　　如果完成一件任務需要分成n個步驟進行，做步有m1種方法，不管步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務共有：m1×m2.......×mn種不同的方法。

　　關鍵問題：

　　確定工作的完成步驟。

　　基本特征：

　　每一步只能完成任務的一部分。

　　直線：

　　一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。

　　直線特點：

　　沒有端點，沒有長度。

　　線段：

　　直線上任意兩點間的距離，這兩點叫端點。

　　線段特點：

　　有兩個端點，有長度。

　　射線：

　　把直線的一端無限延長。

　　射線特點：

　　只有一個端點；沒有長度。

　　①數線段規律：總數＝1+2+3+…+（點數一1）；

　　②數角規律=1+2+3+…+（射線數一1）；

　　③數長方形規律：個數=長的線段數×寬的線段數；

　　④數長方形規律：個數=1×1+2×2+3×3+…+行數×列數。

　　質數與合數

　　質數：

　　一個數除了1和它本身之外，沒有別的約數，這個數叫做質數，也叫做素數。

　　合數：

　　一個數除了1和它本身之外，還有別的約數，這個數叫做合數。

　　質因數：

　　如果某個質數是某個數的約數，那么這個質數叫做這個數的質因數。

　　分解質因數：

　　把一個數用質數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。通常用短除法分解質因數。任何一個合數分解質因數的結果是的。

　　分解質因數的標準表示形式：

　　N=，其中a1、a2、a3……an都是合數N的質因數，且a1<a2<a3<……<an。

　　求約數個數的公式：

　　P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)。

　　互質數：

　　如果兩個數的較大公約數是1，這兩個數叫做互質數。